基礎數學觀念-3: 與「零」有關的基本性質

接下來要整理的是「零」的性質，還有一些我們認為是理所當然的數學運算性質的推導，例如為什麼 0 乘以任何數結果都是 0 ？為何 3*(-2) = –6 等等。
要討論這些問題，必須要了解以下基礎知識：

• 向量空間（vector space）
• 皮阿諾公設（Peano axioms）

簡單的說，我們從小接觸的「數線」是歐幾里德空間（Euclidean Space，簡稱歐式空間），而歐式空間也是一種向量空間，其中每一個元素（也就是實數）就是向量空間中的一個向量（vector）。在向量空間中有以下重要的公設（等於是定義，是一組既定的規則，不需要證明）：

• 向量加法（實數加法）具有單位元素（0）：也就是說，任何數加上0等於任何數本身
  
• 向量加法（實數加法）具有反元素（加法反元素）：例如：3 的加法反元素是 -3（在前面加上一個負號），使得 3+(-3) = 0（加法單位元素）

事實上「減法」這個運算是利用加法來定義的，因為如此定義可以重複利用以上兩個基本公設，不需要另外為了減法再定義新的公設，由此可見數學的簡潔性，絕不重複發明相同的輪子！

（另一個例子是，在電腦的二進位世界中，負數也是透過正數來定義的，只要在正數最前面的bit上動個手腳就可以表達負數）

利用以上兩個公設可推導出以下結果：

• 任何實數乘以0都等於0 (e.g., 3*0=0 )
  
  
• 正實數乘以負實數結果是負實數 (e.g., 3*(-2) = –6)
  
  
• 若 ab=ac, 且 a!=0, 則 b=c
   

（第一個推導如果把0換成零向量，就是某年的研究所考題）

透過以上推導的過程，可以體會到如何以基礎理論，來逐步建構出更上層的理論，整個數學體系就是像這樣一步一步慢慢建立起來的。

以上的性質被證明出來以後，一個明顯的好處是可以加快計算速度，雖然從小的填鴨式教育讓我們認為這是理所當然的性質，但其實也是需要證明的！

備註：以上資料是我從向量空間（vector space）的講義裡面整理出來的，不太確定「一維歐式空間」跟「數系」有沒有差異，如果有錯誤的話煩請指正，謝謝 ^_^

補充資料：

• [證明] 1+1=2

同系列文章連結：

1. 數學歸納法的證明與應用
2. 集合論的性質：整數與偶數個數相同