集合論中元素個數相等
如何證明兩個集合X、Y元素個數相等？最直覺的想法是：把集合X和集合Y的元素個數算出來，若兩個集合元素個數相等，就得證。但總是會遇到天不從人願的時候，若剛好兩個集合X、Y為無限集（元素個數無限），就無法計算出集合X、Y的元素個數了。
因此數學家想出一個方法：利用消去法來證明。也就是將集合X中消去一個元素，就同時將集合Y中也消去一個元素。重複執行此動作，若可以將X與Y中的所有元素都消去的話，便可證明這兩個集合元素個數相等。（[Wikipedia] Cardinality: 1. Comparing sets）
這個將兩個集合中對應元素消去的動作，以函數的觀點來看稱為：一對一且映成函數。因此要證明兩個無限集的元素個數相等，就可轉換為設法在兩個無限集之間找到一個一對一且映成函數，只要能夠定義出這個函數，便可證明兩個無限集的元素個數相等。（像這樣將問題轉換為利用其他已知理論、工具來解決的能力，真的需要好好培養...)
以下的證明看完以後會有種「世界變了」的感覺：
（以下集合均為無限集）
- 證明整數和偶數具有相同的元素個數
明明整數就包含單數和偶數，結果整數的個數居然還是跟偶數一樣多？那單數跑到哪裡去了？
- 證明整數與自然數具有相同的元素個數
根據相同的推導方式得到的這個結論也很神奇，明明整數就包含負數和自然數，但是整數的個數還是跟自然數一樣多？那負數又跑到哪裡去了呢？
- 證明正奇數（odd number）是可數集合（正奇數與自然數具有相同的元素個數）
最後這個結論也很有意思，自然數除了正奇數以外，當然包括了正偶數（even number），但最後又證明出自然數的個數和正奇數相同，那麼正偶數又跑去哪裡了呢？
從以上性質的推導可以感受到數學的嚴謹性，一切都根據已知的定理、定義來推導，不摻雜一絲不理性的因素（e.g. 感覺、猜想），而這些人格特質對於程式的開發、除錯也是很重要的，如果不去仔細思考背後的原因，而老是將發生錯誤的原因歸咎到沒有放乖乖之類的迷信，那是很難進步的。
下一篇預計整理的是「零」的性質，還有一些我們認為是理所當然的數學運算性質的推導！
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